変わり方調べ　指導案と実践記録

前田の算数

前田の算数　実践事例

４年「変わり方調べ」

－ふたりでパシャリ－

　　　　　問　　い　　を　　洗　　練　　さ　　せ　　る　

１、はじめに

教えたいことは、発見させる

「教えたいことは、教師が言うのではなく、子供が発見するようにしなさい」
とよく言われる。
「変わり方調べ」の学習の中で、絶対に言わないでおこうと決めていた言葉がある。
それは、「きまりを見つけなさい」という言葉である。
逆に言えば、「きまりを見つけよう」と子供たちが自ら動き出す授業。
そんな授業をめざした。

あえて、不完全な形で提示

　本実践では「□人が、２人ずつ、全員と写真を撮る時の、写真を撮る回数を求める」という課題に取り組んだ。「場合と数」の「総当たり戦の試合数を求める問題」と同じ原理の問題である。

　もしも教科書なら、まず、一方が１の場合、２の場合、３の場合…のもう一方の数値を求めさせ、次に、それを表にまとめさせ、そして「きまりを見つけましょう」と問いかけるという展開になることだろう。しかし、これでは、最初からきまりがあることを子供たちに示してしまい、「きまりを見つけないと大変だ」「きまりが必要だ」という切実感を子供たちに抱かせることはできない。

　そこで本実践では、最初に、３人の場合と４人の場合を提示した。
　　

この数値だけを見ると、
「３人から４人になると３回増えた。きっと５人になると、もう３回増えて９回になる」
「３人から４人になると２倍になった。きっと５人になると、もう２倍になって１２回になる」
そんな風に錯覚してしまう。
しかし、実際は５人の場合１０回である。
そこに、子どもたちの「あれ」「どうして」が生まれる。

実は、この表は、あえて不完全な形で提示したのである。
本来、変化の様子を調べるには、対応する値の組が３組以上必要である。
しかし、「３人だと３回、４人だと６回」と、あえて対応する値の組を２組だけ提示することで、子どもたちが、自ら２人の場合や６人の場合を調べ、「どんなきまりになっているのだろう」と考えていく姿をねらったのである。

２、単元について

（１）単元名　変わり方調べ　「第４学年」

（２）活動の内容とねらい
　本単元では、身の回りにある伴って変わる２量を見いだし、それを表に表したり、□や△を用いて式に表したりしながら、２量の関係を調べる学習を行う。その中で、関数的な考え方を育むことをねらう。

（３）全体計画（全５時間）
　第１次　伴って変わる２量の関係を調べる（３時間）
　第２次　発展問題に取り組む　－ふたりでパシャリ－（２時間）

３、授業の実際

　
　『□人が、全員と二人組で写真を撮ると、
　写真を撮る回数は何回になるでしょう。

第２次の１時間目
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　①　ふたりでパシャリって何？
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－人数と回数の関係に興味を抱いていった子供たち－

「ふたりでパシャリ。パシャリは何回？」と板書し、
「さて、何回でしょう」と子供たちに問いかけた。
いきなりの質問に、きょとんとした顔になる子供たち。
「パシャリって、何？」「写真を撮ることかな？」などとつぶやき始めた。

　そこに、カメラを取り出して、
「パシャリって写真をとることです」
「二人ずつ写真を撮るんですよ」と説明した。
子供たちは「やっぱり写真だ」「だったら、クラス40人だから20回だよ」と、
問題場面のイメージをふくらませていった。

　そんな様子を見守りながら、
「全員が全員と二人組で写真を撮るんですよ」
と説明を付け加えた。
「どういう意味？」とざわつく子供たちに、３人の場合を例に説明した。

　３人の子供に前へ出てきてもらい、実際にやってみせた。
「旅先で知り合ってなかよくなった３人組。しかし別れの時がやってきました。そこで二人ずつ記念写真を撮ることに…」
と、ストーリーを織り交ぜながら、ＡさんとＢさん、ＡさんとＣさん、ＢさんとＣさん、合計３枚の写真を撮って黒板に貼った。
実演しながら「全員が全員と撮ること」「二人組で撮ること」を子供たちに確認した。

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　ここでは、あえて条件不足の形で課題を提示し、説明を小出しにしていった。
今回の課題は、問題場面が複雑である。
そこで、少しずつ問題を浸透させようと考えたのである。

　さて、こうして問題場面のイメージを作り上げる中で、子供たちからは
「３人なら６回じゃないかな」
「あれ、３回だ…、何でだろう」
「だったら４人なら…」などのつぶやきが聞こえてきた。
一方の数からもう一方の数を簡単には予想できない。子供たちは、知的好奇心を掻き立てられて、人数と回数の関係に興味を抱いていったのである。

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　②　順番に撮っていこうよ
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－事象を整理してとらえようとしていった子供たち－

　「だったら４人なら…」と推測を始めた子供たち。
実際に４人グループを作って試してみるように指示した。

　秋子は、
「３人だと３回だったから、４人ならきっと４回だよ」
と、さっそく活動を始めた。
最初のうちは、
「私がカメラマンになる」
「○○さん、一緒に撮ろうよ」
と楽しそうに写真を撮っていた。
しかし、やみくもに撮ったのでは、回数が分からなくなってしまう。
そのうちに「ちょっと待って、順番に撮っていこうよ」と秋子が提案した。

　秋子が提案した数え方は、まずはＡが撮って、ＡＢ・ＡＣ・ＡＤの３回。次にＢがＡ以外のメンバーと撮って、ＢＣ・ＢＤの２回。最後にＣがＡ・Ｂ以外のメンバーと撮って、ＣＤの１回。合わせて６回という数え方である。
　落ちや重なりがないように工夫されている。

　さて、こうして６回という答えが分かったのだが、秋子は、まだ腑に落ちない様子であった。推測していた４回という結果ではなかったからである。
「あれ、６回。何で？」とつぶやき、秋子はノートに向かった。
「何かきまりがあるのではないか」と考え始めたのである。

　ノートに向かった秋子は、右のような図をかいた。
複雑な事象を整理するために、図を用いる必要を感じたのである。
秋子のように、図を用いて考え出す子供が、他にもたくさんいた。
十分な算数的活動の場を保障したことで、子供たちはやみくもに調べては困難が生じることを実感し、事象を整理してとらえ、きまりを見いだそうと動いていったのである。

秋子のノート①

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　③　両方ともおかしいよ
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－対応する値の組を増やして、きまりを見いだそうとしていった子供たち－

　秋子の考えを全体にも紹介し、４人だと６回になることを確認した。
子供たちは、「だったら５人なら…」と、推測を始めた。

　さて、５人だと一体何回になるのだろうか。
子供たちに予想を聞いてみると、「９回」や「12回」という答えが返ってきた。
「３人から４人になると３回増えた。だから５人になると４人の時の６回から３回増えて９回になる」
「３人から４人になると２倍になった。だから５人になると４人の時の２倍になって１２回になる」
という理由である。
根拠ある推測であることを褒め、それらを表に整理して板書した。

　秋子は、どちらの推測が正しいのか、見比べていた。しかし、やがて
「両方とも、おかしいよ」と手を挙げた。
「だって、２人の時は１回、１人の時は０回でしょ」と言う。
１人や２人の場合を考えると、「３ずつ増える」「２倍ずつ増える」というきまりは成り立たないというのである。

　本来、変化の様子を調べるには、対応する値の組が３組以上必要である。しかし、ここでは「３人だと３回、４人だと６回」と、あえて対応する値の組を２組だけ提示した。「＋３」や「×２」を錯覚させる２組である。そうすることで、秋子のように、対応する値の組をもっと増やして確かめようとする姿がひきだされたのである。

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　秋子の意見に、教室がざわつきだした。なにしろ、推測が見事にくつがえされたのである。
「あれ」「どうして」と、子供たちの心が動き出した。

　子供たちは、「５人だと何回になるの？」とノートに図をかいて試し始めた。
５人だと10回になることを確認した子供たちは、
「え、10回！？一体どんなきまりがあるの？」と考えていった。

　１人から５人までの表をじっと眺めていた秋子は、増え方に着目し「１回、２回、３回、４回ずつ増えていっている」というきまりを発見した。

　「だったら、６人だと15回になるはずだ」
と秋子は６人の場合を試し始めた。
対応する値の組を増やして、自分の見つけたきまりを確かめようとしているのである。
図にかいて試してみると、確かに６人なら15回になった。

こうして秋子は、見つけたきまりに自信を深めていった。

秋子のノート②

問いを洗練させる（その１）　－事象とじっくり向き合わせる－

　こうしてきまりを見いだしていく上で、子供たちの問題意識は次のように変容していった。

　まず、一方の数からもう一方の数を簡単に予想できない教材と出会い、子供たちは、人数と回数の関係に興味を抱いていった。この時の問題意識は、単純に「どうなっているのか知りたい」というものであった。
　次に、実際に４人の場合を確かめる中で、やみくもに調べては困難が生じることに気づき、子供たちの問題意識は、「事象を整理してとらえたい」というものに変わっていった。
　さらに、５人だと10回となる事実に、子供たちの問題意識は、「対応する値の組を増やして調べ、きまりを見いだしたい」というものに変わっていった。

　「どうなっているのか知りたい」という素朴な問いが、「事象を整理して捉えたい」「対応する値の組を増やして調べ、きまりを見いだしたい」という数理的な問いへと洗練されていったのである。

　ここでは、事象とじっくりと向き合わせ、その中で、やみくもに調べては困難が生じる場を設定したり、推測が外れるような場を設定したりしたことが、子供たちの問いを洗練させることにつながった。

第２次の２時間目
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　④　絶対にそうなるの？
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－　図に立ち返って関係を見つめ直していった子供たち　－

　ここで、見つけたきまりを発表する場を設けた。
子供たちはきまりを発見したことに、満足気な様子であった。
「１回、２回、３回、４回、５回と増えている」
「６人なら15回なったよ。きっと、７人なら21回、８人なら28回になるはず」
など、意気揚々と説明した。

　しかし、子供たちの見つけたきまりは、あくまでも数の並びから帰納的に推測したきまりであって、証拠はない。もう１度、図に立ち返って、きまりが成り立つ理由を考えさせる必要がある。
　そこで、「絶対にそうなりますか。」と問いかけた。
すると、「絶対とは言えないけど…」「多分そうなるはず…」
と、子供たちの自信が揺らぎ始めた。
　さらに、「だったら、７人、８人、９人、10人の場合も、実際に試していきますか」
と子供たちの考えを揺さぶった。
子供たちは
「でも、そんなことしてたら面倒だよ」
「そんなことしなくても絶対になるって言えるよ。だって…」
と反論を始めた。

　そこで、「きまりが成り立つ理由を説明してごらん」と子供たちに投げかけた。
ただし、一般化してきまりを証明するのは難しいので、
「５人になると４回増える理由」を考えていくことにした。

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　ある子は、前に出て図を示しながら説明した。
「階段の図にして考えてみたよ。４人だと、こんな図になる。そこにＥが来ると、この部分だけ増えたんだよ」と言うのである。

「つまり、最初から数えなくてもいいんだよ」
と別の子が付け足した。
「４人の時は６回だって分かっている。後から来たＥさんがＡＢＣＤさんと撮った４回を足せばいい」と説明した。
図と実際の動作を関連づけた考えである。

　さらに、
「同じように、６人になったらもう一回り大きくなるはずだよ」
と別の子が付け足した。そして、
「一人増えるごとに階段は一回り大きくなるよ。人数が４人の時、階段は３段になる。５人なら４段、６人なら５段。（人数－１）回ずつ回数が増えているよ」と説明した。
（人数－１）という言い方は、回数を人数と関係づけて一般化を図ろうとした考えである。

　つまり、□人目が加わると、□人目が元からいた（□－１）人と撮った分だけ足せばいいから、（□－１）回ずつ回数が増えていくのである。

　
　こうして子供たちは、様々な見方で人数と回数との関係をとらえていった。
最初は、考えを整理するために用いてきた図であった。しかし、ここでは「増えた部分」に着目して図を見つめ直していった。新たな視点で図を見直すことで、関係をとらえる目が深まっていったのである。

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　⑤　例えば、４０人だったら…
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－　より簡単なきまりを見いだそうとしていった子供たち　－

　こうして、きまりが成り立つ理由が証明された。
子供たちは、「ほら、やっぱり、１、２、３…と増えていってるでしょ。」と、
再び満足そうな表情になった。

　そこで、
「ようし、今度は、40人で撮ったら何回になるか、考えてみよう」
と子供たちに投げかけた。
40人というのは、本学級の人数である。もうするクラス替えを迎える今、記念に２人ずつで写真を撮ろうともちかけたのである。

　子供たちからは、
「えっ40人…」「40人の場合を求めるのは、大変だよ」
という声があがった。

　大輔がその理由を説明した。
「さっきまでのように、３人、４人、５人…と順番に調べていく時はいいけど、40人の場合を調べる時には、１＋２＋３＋…＋38＋39と、いちいち足してゆくのが面倒になる」
というのである。
そして、大輔は
「回数が簡単に分かるようなきまりを見つけようよ」と提案した。

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　大輔がそのように考えた理由は、第１次での学習にある。
「四角形の石をピラミッド型に積んだときの石の数」を調べた時のことである。
最初はみんな、１＋３＋５＋…と数えていたのだが、そのうちに大輔が、ピラミッドを等積変形させると「石の数＝段数×段数」で求まることを発見した。この時、大輔は「この方法なら、最初から足し算しないで、急に段数だけを言われても、石の数がぱっと分かる。」と発言している。
この成功体験から、今回の課題ににおいても、人数から回数がぱっと分かるきまりを見つけたいと、大輔は考えたのである。

ピラミッドの時には…

第１次の大輔のノート①

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　⑥　見えない階段が、もう１段あるよ
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－　友達の考えの中に、解決への糸口を見いだしていった子供たち　－

　解決へのヒントは、「長方形」である。
大輔は、ピラミッドの時の経験を生かして、階段の図を何とか長方形に等積変形できないか試してみた。しかし、なかなかうまくいかず、大輔の思考は、一旦行き詰まることとなった。
　そんな大輔に、解決への光を与えたのは、秋子や祐太の発言であった。

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　秋子の発言は、
「残りの段数を足すと、長方形になるよ」というものだった。
秋子は図を指しながら説明した。
「Ｂさんは３回だけ数えたけど、本当はもう１回撮ってる。Ｃさんは、本当はもう２回撮ってる。Ｄさんは、本当はもう３回撮ってる。数えなかった回数も合わせると、みんな４段になる」というのである。

　この「本当は撮ったけど、数えなかった回数」という視点は、新しいきまりの発見への大きな手がかりとなるものである。そこで、図の「数えなかった回数」の部分に色を塗って強調した。
それを見ていたある子供が「見えない階段だ」とつぶやいた。
色を塗ってみると、数えなかった回数も階段状に並んでいるのが分かる。
それまで見えなかった視点が、見えてきたのである。

　大輔は、見えない階段を眺めながら
「確かにそうなんだけど…、でも、きまりは見つからないな」
と悔しそうにつぶやいた。

見えない階段

　そこに、祐太が
「見えない階段が、もう１段あるよ」と手を挙げた。
「図ではＥさん列が省略されているけど、本当はここに見えない階段が、もう１段ある。Ｅさんは１回も数えてないけど、本当は５回写真を撮ってる」というのである。

　ここで、祐太の言う「もう１段ある見えない階段」を図にかき加え、色を塗った。
すると、子供たちから「あ、同じ形になってる」という声があがった。
「数えた回数」の部分と「数えなかった回数」の部分が同じ形になっているのである。

もう１段あるよ

　裕太の発言を聞いていた大輔が、嬉々とした表情で
「そうか、そういうことか。」と声を挙げた。
ついに、新しいきまりを発見したのである。
大輔が発見したきまりは、「回数＝（人数－１）×人数÷２」という公式であった。

　こうして、大輔は、新たな公式を導き出す上で、友達の考えをジグソーパズルのように組み合わせながら、自分の考えをつくり上げていった。
　大輔は、最初、長方形にすれば公式が導き出せそうだということまでは分かっていたが、等積変形のやり方ではうまくいかずに行き詰まっていた。そこで、秋子の発言をきっかけに、数えなかった部分に着目して考え始めた。
　ところが、秋子の考えだと、長方形は作り出せたものの、そこから公式を導き出すことはできなかった。そんな中、祐太の発言から、「数えた回数」の部分と「数えなかった回数」の部分が同じ形になることが分かった。そして、長方形を２で割ればパシャリの回数が求まることに気付いたのである。

回数＝（人数－１）×人数÷２

問いを洗練させる（その２）　－　心を揺さぶる　－　

　ここでは、子供たちの問題意識は、次のように高まっていった。
　最初は、自分たちの見つけたきまりに満足していた子供たち。しかし、絶対にそうなるのかと考えを揺さぶられたことで、子供たちの中に「きまりが成り立つ理由を証明したい」という新たな問題意識が生まれた。
　そうして、きまりが成り立つ理由を証明できた子供たち。しかし、40人へと数を拡張したことで、「もっと簡単に分かるきまりを見いだしたい」という新たな問題意識が生まれた。

　子供たちは、自分の考えに満足した状態の時、考えることをストップさせる。そういう時に、教師が、子供たちの心を揺さぶることで、子供たちの問いは、さらに洗練されていくのである。
　

４、おわりに

　子供たちが授業を通して抱き続けていた問題意識は「きまりを見つけたい」という願いである。
　しかし、「きまりを見つけたい」という問題意識の中にも、様々なレベルが存在する。
　最初は、ただ単純に「どうなってるのか知りたい」という素朴なレベルの問いから始まる。やがて「事象を整理して調べたい」「対応する値の組を増やして、きまりを見いだしたい」「本当にそうだと言えるのか調べたい」「よりよいきまりを見いだしたい」といった数理的な問いへと洗練されていく。
　教師の役目は、課題を提示して終わりではない。子供たちの素朴な問いを、数理的な問いへと洗練していくことが大切だと考える。

指導案（ＰＤＦ）

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