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| 前 田 の 算 数 実 践 事 例 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| ６年 「場合の数」 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| おもしろ問題×５ | |||||||||||||||||||||||||||||||||
「場合の数」の単元には、面白い問題がたくさんある。 その中でも、私が特に気に入ってる問題を５つ紹介したい。 |
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・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ おもしろ問題① 階段の上り方は、何通り？ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ セールスポイント いろいろな発想が出てくる！
「場合の数」と聞いて、ぱっと頭に浮かぶのが「樹形図」である。 ついつい、樹形図の指導にばかり時間を割いてしまいがちになる。 しかし、何も樹形図にばかりこだわる必要はない。 「場合の数」の本質は、「整理して数える」ということである。 大切なのは、落ちや重なりがないように、ルールを決めて数えていくことである。 この問題のセールスポイントは、子どもたちからいろいろな発想が出てくることである。 この問題では、それぞれの数え方のよさについて、じっくりと話し合わせたい。 よりよい数え方について話し合う中で、 ルールを決めて数えていくことの大切さに気付かせたい。 |
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・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ おもしろ問題② 片手でいくつ数えられる？ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ セールスポイント 子どもが興味をひきつける！ 授業の後のちょっと余った時間に、こんな練習問題を出してみてはどうだろう。 「真似してごらん」そう言って、 指を折ったり曲げたりと、様々な形の手をつくってみせる。 子どもたちは、何が始まるのかと興味津々になる。 子どもたちが食いついてきたところで、問題を提示する。 次のような問題である。
子どもたちは、きょとんとした顔になる。 この問題は、一見「場合の数」と関係なさそうな問題に見えるからである。 しばらく経ったところでヒントをあげてもいい。 「親指は伸ばすか、折るかのどちらかです。」 「伸ばすを○、曲げるを×とすると、こんな図になります」  「人差し指も、伸ばすか、折るかのどちらかです。」 「伸ばすを○、曲げるを×とすると、こんな図になります」  「親指と人差し指で、４通りの手の形ができましたね。 残りの３本も使うと何通りできるか考えてみましょう」 考えるとっかかりが分かると、後は簡単である。 答えは、３２通りになる。 子どもたちの中には、残りの図を全部かかなくても、 ２×２×２×２×２＝３２と計算で求められる子も出てくる。 一見、場合の数と関係なさそうな問題なのに、 これまで学習してきた考えを使って解けるところが、この問題の魅力である。 ちなみに、親指が１、人差し指が２、中指が４、薬指が８、小指が１６といったように、各指の表す大きさを決めると、片手だけで、０～３１までの３２通りの数を数えることができる。 そんな話を、おまけの話として、子どもたちに聞かせてあげるのもよいだろう。 子どもは、「おまけの話」が大好きである。   そんな話をしていると、子どもたちの中には、 「だったら、両手を使ったら、いくつまで数えられるかな？」 なんて子も出てくる。 ２を１０乗すればよいのだから、 ２×２×２×２×２×２×２×２×２×２で、１０２４通りである。 理論上は、なんと、０～１０２３まで数えられるということになる。 実際数えようとすると、複雑すぎて大変だが…。 |
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・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ おもしろ問題③ パスワードは何通り？ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ セールスポイント 生活に根ざしている！ 東京書籍の教科書の「算数のお話」のコーナーには、パスワードに関する問題が載っている。 それを少しアレンジして、次のような問題を出題してみた。
これまでに、子どもたちは、「場合の数」の勉強をしてきている。 真面目な子は、それを生かして、 「１桁目は０～９の１０通り、そのそれぞれに対して、２桁目も０～９の１０通り…。 だから、１０×１０×１０×１０で１００００通り」 と考える。 しかし、発想のやわらかい子は、単純にぱっと答えを求める。 「１～９９９９の１００００通り」 と考えるのである。 どちらの考えも面白いが、両方の考えを合わせて見ると、十進位取り記数法のよさが見えてきて、さらに面白い。 さて、この１万という数を多いとみるか、少ないとみるか…？ 最近のパスワードは、「数字だけでなく、必ずアルファベットも入れてください」と言われることが多い。 先程の問題を少し発展させ、数字だけでなくアルファベットも使ってみたら、どうなるだろうか。
３６×３６×３６×３６＝１６７９６１６ なんと、１６０万以上ものパスワードができる。 パスワードにはアルファベットを入れた方がよいことが実感できる。 |
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・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ おもしろ問題③ ６つの中から４つを選ぶと…？ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ セールスポイント ひらめきの快感を得られる！ 子どもたちに、遠足に持って行きたいお菓子を尋ねる。 Ａぷっちょ、Ｂチョコ、Ｃガム、Ｄポテチ、Ｅしげきっくす、Ｆうまい棒 などが出てくる。 そこで、次のような問題を出す。
６×５÷２で、答えは、１５通りである。 そんな問題を解いた後に、次のような問題を出すと面白い。
選ぶお菓子が２つから４つに増えて、一見、難しそうに見える。 しかし、発想を転換すれば、あっという間に解けるところが、この問題の面白さである。 持っていく４つを選ぶということは、持っていかない２つを選ぶのと同じことである。 答えはさっきと同じ、１５通りである。 |
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・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ おもしろ問題⑤ 行き方は何通り？ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ セールスポイント 意外なところに場合の数が応用できる！ テストが早く終わる子がいる。 そんな子には、テストの余った時間を利用して、 ちょっぴり難しい問題に挑戦させるのもいい。 算数が好きな子は、夢中になって取り組む。
一見、この問題は、図形問題にも見える。 しかし、少し考えを整理して、 学校への行き方を矢印で表してみると、どうだろう。 例えば、 例 ↑→↑→↑ 例 →↑↑↑→ 例 ↑↑→→↑ といった具合になる。 つまり、５つある矢印のうち、横向きの２つを選ぶ問題なのである。 ５×４÷２＝１０、答えは１０通りになる。 同じように、一見「場合の数」の問題には見えない面白問題がある。 次のような問題である。
しかし、この問題も、数ある頂点の中から４つの頂点を選ぶ問題だと思えば、場合の数の学習が応用できる。 横には４つの頂点が並んでいる。 ４つの頂点から２つの頂点を選ぶと、横の辺が決まる。 横の辺の選び方は、４×３÷２で６通りになる。  同じように、 縦には５つの頂点が並んでいる。 ５つの頂点から２つの頂点を選ぶと、縦の辺が決まる。 縦の辺の選び方は、５×４÷２で１０通りになる。 横が６通りで縦が１０通りだから、 ６×１０で６０通りの長方形ができるというわけである。 一見、場合の数と関係なさそうなところに、場合の数の考えが応用できるところが、この問題の面白さである。 |
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