前田の算数

前 田 の 算 数　 実 践 事 例
第４学年　「電卓を使って計算しよう」
電卓マジック　～算数トリックを見やぶれ～　
指導案（ＰＤＦ）



はじめに

東京書籍の教科書に、「電たくを使って計算しよう」というページがあり、次のような電卓を使った不思議な計算が紹介されている。




＜不思議な計算＞

好きな数字を選んで、そこから３桁ずつ足しながら回り最初の数に戻る。
例えば、１２３＋３６９＋９８７＋７４１
例えば、４７８＋８９６＋６３２＋２１４
どこから足しても、どちら向きに足しても、答えは２２２０になる。

本来は、電卓の使い方を学ぶことがねらいのページなのだが、そこにアレンジを加えてみた。規則を見つけ、見つけた規則が成り立つ理由を考えていく授業である。

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（１）導入のマジック

「マジックをします。」
そう言って、1人の子供を指名する。


教師：１から３の中で、好きな数字を言ってください。

子供：じゃあ、２。

教師：やはり２ですか。
　　　実はその数字を、先生は予言していたのです。
　　　ロッカーに貼っておいた紙をめくってみてください。

子供：（紙をめくって…）
　　　あれ、「２」ってかいてある！？

驚く子供たちから、「もう１回やって」と,、リクエストの声があがる。
「いいでしょう」と言って、1人の子供を指名する。


教師：１から３の中で、好きな数字を言ってください。

子供：じゃあ、今度は３。

教師：やはり３ですか。
　　　実はその数字を、先生は予言していたのです。
　　　ホワイトボードに貼っておいた紙をめくってみてください。

子供：　（紙をめくって…）
　　　「３」ってかいてある（笑）

子供たちから笑いがおこる。
しかし、何人か不思議そうな顔をしている子もいる。
「おやおや、みなさん笑ってますね。
　しかし、まだ何人か不思議そうな顔をした人もいますよ。
　念のため、誰かこのマジックのトリックを説明してくれませんか。」
と言って、子供の中の1人に説明してもらう。
「１から３までの紙が教室のどこかに貼ってあって、１って言ったら１の紙をめくって、２って言ったら２の紙をめくって、３って言ったら３の紙をめくる。」
「１から３の何を答えても当たるようになってる。」

実はこのマジック、ナポレオンズがＴＶでやっていたのを真似したものである。
冗談みたいなマジックであるが、「何を答えても当たるようになっている」という言葉が、この後の授業のキーワードになってくる。

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（２）規則を見つける

　①算数マジック、その１

さて、
「今のは冗談。ここからが本気のマジックだよ。」
そう言って、袋の中から仰々しく紙を取り出す。
いよいよ算数マジックの始まりである。

子供たちは、今度もトリックを見やぶってみせようと、真剣な表情で見つめる。
同じ教材でも、提示の仕方で授業は大きく変わってくる。
今回は、マジック風に演出した導入を試みた。
「トリックを見やぶろう」という挑戦意欲が、「規則を見つけようとする算数的な態度」につながると考えたのである。

袋の中からとりだした紙を裏返しにして黒板に貼る。
「この紙の裏には、数がかいてあります。
　あなた方は絶対にこの数を選ぶでしょう」
そう言って1人の子供を指名する。


教師：電卓の端には４つの数があります。
　　　　１と３と７と９です。
　　　　まずは、この４つの中から好きな数を選んでください

子供：じゃあ、３。

教師：３ですか…。それでは、３から始めましょう。
　　　３から３まで、電卓を一周します。
　　　みなさんは、今から先生が言うように電卓をうってくださいね。
　　　（電卓のモデル図を指さしながら、ゆっくりと数を読み上げる）
　　　３６９＋９８７＋７４１＋１２３＝
　　　みなさんの電卓に出ている数は…
　　　（紙を裏返す。紙には２２２０と書いてある）
　　　２２２０ですね。

子供：…！？

「ずるだ、ずるだ。」
「何を答えても２２２０になるよ」
とブーイングが起こる。
理由を尋ねると、





子供：１でも３でも７でも９でも、
　　　　どこから始めても、足す順番が変わるだけだから、
　　　　答えは同じ２２２０になる。

子供：例えば、１から始めたら、１２３＋３６９＋９８７＋７４１。
　　　　７から始めたら、７４１＋１２３＋３６９＋９８７。
　　　　式の中に同じ数が出てくるよ
と子供たちが、説明する。
子供たちの説明を聞きながら、式をチョークで色分けして板書する。


　１から　１２３＋３６９＋９８７＋７４１
　７から　７４１＋１２３＋３６９＋９８７

他の子供たちも、納得する。


②　算数マジック　その２

「またしても、見やぶられましたね。では、次のはどうかな。さっきのが初級レベル。今度のは超上級レベルですよ。」
そんなことを言いながら、袋の中から紙を取り出して黒板にはる。
そして、電卓のモデル図を指さしながら、今度のルールを説明する。


「今度は、１・２・３・４・６・７・８・９、どこから始めても構いません。
　例えば、２から始めて、２３６＋６９８＋８７４＋４１２でも構いません。
　さらに、今度はどちら向きに回っても構いません。
　例えば、４から右回りに回って、
　４７８＋８９６＋６３２＋２１４でも構いません。
　みなさんは、好きな数と、どちら回りかを自由に言ってください。
　その答えが、この紙の裏に書いてあります。」

「また、どれも２２２０になるんじゃないの」
と子供から野次がとぶ。
気の早い子は、電卓をいじって試し出す。
こんな子供を注意してはいけない。
子供がじっと話を聞いているのは、楽しい授業ではないのだ。

しかし、黙って子供たちの野次に負けているわけにもいかない。
次のように反論した。
「え、どれも２２２０になる…。そんなはずはありませんよ。
　だって、何から始めてもいいし、どちら向きに回ってもいいんですよ。
　そうすると、１６種類もの式ができるんですよ。
　本当に全部２２２０になりますか。」
そう言って、１６種類の式を書いた模造紙を子供たちに見せた。

（左回り）
１から　１２３＋３６９＋９８７＋７４１
２から　２３６＋６９８＋８７４＋４１２
３から　３６９＋９８７＋７４１＋１２３
４から　４１２＋２３６＋６９８＋８７４
６から　６９８＋８７４＋４１２＋２３６
７から　７４１＋１２３＋３６９＋９８７
８から　８７４＋４１２＋２３６＋６９８
９から ９８７＋７４１＋１２３＋３６９
（右回り）
１から　１４７＋７８９＋９６３＋３２１
２から　２１４＋４７８＋８９６＋６３２
３から　３２１＋１４７＋７８９＋９６３
４から　４７８＋８９６＋６３２＋２１４
６から　６３２＋２１４＋４７８＋８９６
７から　７８９＋９６３＋３２１＋１４７
８から　８９６＋６３２＋２１４＋４７８
９から ９６３＋３２１＋１４７＋７８９

それでも子供たちは、
「きっと全部２２２０になるよ」と言いはる。
本当に全部２２２０になるか試してみることになった。

全部「２２２０」になるか試してみよう
子供たちは、「２２２０」になることを証明したくて、夢中に電卓をたたく。
そうやって、夢中になって電卓を使っているうちに、電卓の使い方を学習していく。







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③　整理して確かめる

さて、本当なら、ここで
「全部試さなくてもいいんじゃない」
という子が出てきてほしかったのだが、なかなか出てこなかったので、次のようなヒントを与えた。

算数は楽をする教科です。
１６種類全部の式を計算しなくても、
全部の答えが２２２０になることを、確かめられる人はいませんか。

何人かの子供たちが、
「あ、そうか。先生の言ってること分かったぞ。」
と手を挙げる。
その中の1人を指名する。
「同じ数を並び変えただけの式がある。例えば、
　１２３＋３６９＋９８７＋７４１
　３６９＋９８７＋７４１＋１２３
　７４１＋１２３＋３６９＋９８７
　９８７＋７４１＋１２３＋３６９
　は同じ数を並び変えただけで、答えは同じはず。
　だから、１２３＋３６９＋９８７＋７４１
　だけ計算すれば、４つともの答えを確かめられる。」
すると、
「他にも同じ数を並び変えただけの式があるよ」　
と他の子供たちも続く。
前に出てきてもらって、同じ数が出てくる式同士を色分けしていく。
だんだん、「あ、そうか」「なるほど」という子供たちが増えていく。

（左回り）
１から　１２３＋３６９＋９８７＋７４１
２から　２３６＋６９８＋８７４＋４１２
３から　３６９＋９８７＋７４１＋１２３
４から　４１２＋２３６＋６９８＋８７４
６から　６９８＋８７４＋４１２＋２３６
７から　７４１＋１２３＋３６９＋９８７
８から　８７４＋４１２＋２３６＋６９８
９から ９８７＋７４１＋１２３＋３６９
（右回り）
１から　１４７＋７８９＋９６３＋３２１
２から　２１４＋４７８＋８９６＋６３２
３から　３２１＋１４７＋７８９＋９６３
４から　４７８＋８９６＋６３２＋２１４
６から　６３２＋２１４＋４７８＋８９６
７から　７８９＋９６３＋３２１＋１４７
８から　８９６＋６３２＋２１４＋４７８
９から ９６３＋３２１＋１４７＋７８９

まとめると、
・左回りで１・３・７・９から始まる式
・左回りで２・４・６・８から始まる式
・右回りで１・３・７・９から始まる式
・右回りで２・４・６・８から始まる式
の４種類の式を確かめればいいことになる。

実際に確かめてみると、４種類とも答えは「２２２０」になる。













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（３）規則が成り立つ理由を考える。

①理由を考えようとする

マジックのトリックは、見事に見やぶられてしまった。
しかし、授業はここからが本番である。
規則を見つけて終わりではなく、規則が成り立つ理由を考える子供に育ってほしいと思うのである。
そこで、
「やっぱりインチキだった。」
という子供たちに、
「あれ、偶然ですね。
　先生もまさか１６種類とも２２２０になるとは思いませんでした。」
とぼけてみせた。すると、子供たちは、
「偶然じゃないよ。何か理由があるはずだ」
と反論する。
そして、全部が「２２２０」になる理由を考えていくことになった。

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②考えるべきことを整理する

全部２２２０になる理由を考えよう

まずは、考えるべきことを整理しなければならない。
・どちら向きに回っても答えが同じになる理由を考え、
・どこから始めても答えが同じになる理由を考えれば、
全部「２２２０」になることが証明されることを、子供たちに確認した。

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③どちら向きに回っても答えが同じになる理由を考える

どちら向きに回っても答えが同じになるのはなぜ？
この問題はちょっと難しい。
ヒントが必要である。
そこで、次のように板書してみせた。
筆算にしたところがミソである。



板書する様子を見ていた子から、
「そうか、分かった。」
という声があがる。
「縦ごとに丸で囲めば理由が分かるよ。」
と、ある子供がつぶやく。
「じゃあ、囲んでみますよ」
と、チョークで囲んでいく。

　　　　



百の位から順番に囲んでいく。
百の位を赤で囲み、十の位を青で囲む。
次は何色で囲もうかな…
と問いかけると、
お調子者が「黄色」と答え、別の子が「赤色だよ」と反論する。



「赤色」にしようという子に理由を聞く。
「１・３・７・９は赤色、２・４・６・８は青色。」
に区別したのだという。更に、
「左回りでも右回りでも、赤青赤になる。
　同じ数を足してるんだから、答えは同じになるはず。」
と説明する。

こうして、どちら向きに回っても答えが同じになる理由が証明された。



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④　どこから始めても答えが同じになる理由を考える
どこから始めても答えが同じになるのはなぜ？
次に、どこから始めても答えが同じになる理由を考える。
「１・３・７・９」から始めるパターンと、「２・４・６・８」から始めるパターンの２種類がある。
先程と同じように、筆算にして板書する。



そして、先程と同じように「１・３・７・９」は赤、「２・４・６・８」は青と、チョークで色分けして囲んでいくのだが、困ったことになる。



さっきは、どちらも「赤青赤」だったのだが、
今度は、２・４・６・８から始めた式は、「青赤青」になるのである。

「赤青赤」と「青赤青」なのに、どうして同じ答えになるのかな。
と子供たちに問いかける。
子供たちは、

「１＋３＋７＋９＝２０、２＋４＋６＋８＝２０、どちらも足したら２０だよ。
と答える。

それでは、
どうして、どちらも足したら２０になるのだろう。
　赤　１＋３＋７＋９
　青　２＋４＋６＋８
２つの式を板書し、見比べる。

ある子が次のように説明した。
「８から２に３あげると、両方５になるよ。６から４に１あげると、両方５になるよ。
　９から１に４あげると、両方５になるよ。７から３に２あげると、両方５になるよ。
　どちらの式も５＋５＋５＋５になるよ。」




同じ説明を別の子に、電卓の図を使って説明してもらう。

向かいの数に、いくつかあげると全部５にできるよ

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見えなかったものが見えてくる！
それが、算数の楽しさの１つである。
ここでは、マジックの中で使われていなかった「５」という数が見えてきたのである。

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電卓の数が全部「５」に見えてくると、答えが２２２０になる理由は簡単に分かる。


どこから始めても、５５５＋５５５＋５５５＋５５５
どちら向きに回っても、５５５＋５５５＋５５５＋５５５
答えは同じ。
当たり前である。

↓

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おわりに

今回の授業では、不思議な計算を知るだけでなく、
不思議な計算になる「理由」を考えた。
不思議と出会った時、「なぜ」と思える子供、
そんな子供に育ってほしいと、私は願っている。

　

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