前田の算数

前 田 の 算 数　 実 践 事 例
２年　かけ算九九
きまり発見で、数の感覚を豊かに！

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
　１、は　じ　め　に
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

★きまり発見で、数の感覚を豊かに！

　かけ算九九のの学習では、それぞれの段の九九を「①つくる」「②覚える」という活動が繰り返されるのが一般的である。
　しかし、作って覚えるばかりでは、味気ない学びになってしまう。
　せっかく九九表は、美しい数の並びになっているのである。
　九九表からきまりを発見する活動を取り入れてみては、どうだろう。
　各段の九九をつくるたびに、作った段の「きまりを見付ける」という活動を取り入れるのである。
　つまり、それぞれの段の九九について　「①つくる」「②きまりを見付ける」「③覚える」という流れで学習を進めるのだ。

　通常は、単元の終わりに九九表からきまりを見付ける学習を行いう。
　しかし、いきなり九九表にある「８１個」もの数を眺めても、なかなかきまりを発見しづらいものである。
　２年生の子供の子供にとって、観察対象が多すぎるからである。
　それより、各段ごとに、「９個」の数にしぼって観察することで、様々なきまりを発見することができる。

★覚えるのもばっちり！

　これを読んだ方の中には、「きまりを見付ける」という活動を付け足すと、時数が足りるのかを心配される方もおられるかもしれない。
　しかし、実際にやってみると、そんな心配はなくなる。
　何しろ、きまりを見付けようと、各段の答えの９個の数と、何度もにらめっこしているのである。覚える活動に入る頃には、半分覚えている状態になっている。
　つまり、「②きまりを見付ける」の時間を入れることで、「③覚える」の時間が短縮できるわけである。

　また、きまりと結びつけると、覚え間違いもしにくくなる。
　間違えやすい九九の代表格に、「４×７」「４×８」「６×７」「６×８」等がある。
　それは、「し」「しち」「はち」の語呂が似ていることが間違えやすい原因である。
　しかし、きまりを見つける中で数の感覚が豊かになっていれば、
　「この段の答えが、こんな数になるはずないな」
と、間違いに気付くことができるのである。





 ①つくる
 ②覚える

↓

 ①つくる
 ②きまりを見付ける
 ③覚える


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
　２、授業の実際
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

★　５の段

　子供は、それぞれの九九を作る中で、無意識のうちに様々なきまりを使っている。
　例えば５×４の答えは、５を４回足すことなので、通常は「５＋５＋５＋５」をして答えを見付ける。
　しかし、中には５を４回足すのは面倒なので、先に求めた５×３＝１５に５を足して「１５＋５」と求める子も出てくる。
　これは「かける数が１増えるごとに答えはかけられる数ずつ増えていく」というきまりを使っているのである。
　また、５×４は、５×２の２つ分だから「１０＋１０」と求める子も出てくる。
　これは、「分配法則」というきまりを使っています。
　さらに、５×５、５×６、５×７…と九九を作り進めるうちに、計算せずにすらすらと答えを書いていく子が出てくる。
　「５の段の一の位は、０、５、０、５…と続くから、次は０のはず」といったように、一の位のきまりを使っているのである。

　こうして子供が無意識のうちにきまりを使っている姿を見かけたら
　「きまり発見だね」
とほめて、価値付けていく。

  
 

 ★　２の段、３の段、４の段

　単元の始めのうちは、手際よく九九を作るためにきまりを発見していく子供たちだが、こうした声かけを続けるうちに、きまりを見付けること自体が楽しくなっていく。

　例えば、一の位に目を向けた子供は、
「５の段の一の位は、５，０，５，０と繰り返すよ」
「２の段の一の位は、２４６８０を繰り返すよ」
「３の段の一の位には、３６９２５８１４７０って、全部の数字が登場するよ」
「４の段の一の位は、４８２６０を繰り返すよ。全部、２の段の数だよ。」
といったきまりを見付けていく。

　例えば、十の位に目を向けた子供は、
「５の段の十の位は、００１１２２３３…って、同じ数が２回ずつ続くよ」
「２の段の十の位は、０００００１１１１１…って、同じ数が５回ずつ続くよ」
といったきまりを見付けていく。
　子供って、きまりを見つけるのが大好きなのだ。

　中には、みつけたきまりを確かめるために、２×１０、２×１１…と、九九の世界を拡張して考える子も出てくる。
　多少九九をはみ出したって、それは、それでいい。
　きまりを発見していこうとする思いに寄り添いたい。

　子供たちがきまりを見付けるたびに、教室に掲示していくと、ますますやる気がアップする。
　子供が着目した視点ごとに整理して掲示することで、何に目を向ければきまりが見つかるのかが分かり、ますますきまりを見付けるのがうまくなっていく。

  








 

★９の段

 　九九の中でも特に面白いのは、９の段である。
　９の段の答えは、まるでエレベーターのように、十の位の数は１ずつ減っているのに対して、一の位の数は１ずつ増えていく。
　この２つのきまりを合わせると、「十の位と一の位をたすと、９になる」というきまりが見付かるのである。

　子供たちは、５、２、３、４の段において、「十の位と一の位に分けて考えると面白い発見があること」を強く実感してきた。
　そのため、９の段の学習でも、十の位や一の位に着目してきまりを発見する子供が多かった。
　最初は
「９は大きい数だから、９の段をつくるのが難しそう」
と感じた子もいたが、十の位や一の位のきまりに着目すると、簡単に９の段をつくることができる。
　見付けたきまりを紹介し合う場で、ある子が
「十の位の数が１ずつ増える」
と発言し、別の子が
「一の位は１ずつ減る」
とつけ足した。
　発言に合わせ、９の段を黒板に貼り、十の位と一の位に色分けして板書してみせた。
　すると、黒板を見ていた子が
「十の位と一の位が逆さまになってる」
と驚きの声をあげた。
　十の位は、９，８、７…、１、十の位は、１、２、３…、９とちょうど点対称に数が並んでいるのである。
　他の子供たちも「本当だ」「面白い。エレベーターみたいだね」と、十の位と一の位の関係に着目して観察していった。
　そんな中、ある子が
「１＋８＝９、２＋７＝９、答えの十の位と一の位を足すと９になる」
と発言した。
　十の位と一の位を足すという見方は、これまでにない発想である。
　この見方をみんなにも広めたいと思った。
　そこで、
「答えの１８の１と８を足すと９、２７の２と７を足すと９…」
といったように、９×２から順に足して９になることを１つずつ確かめていくことにした。
　その際、「足すと９になること」を確認する度「あ、また偶然９になる！」と驚いてみせた。
　そうやってとぼけることで、子供が「偶然じゃないよ。だって…」と理由を説明していく姿をねらったのである。

　１８、２７、３６…と続けていくうちに、子供たちの「偶然じゃないよ」という声がどんどん高まっていった。
　その声がクラス全体に広まったところで、
　「どうして、ずっと９になるの？」
と子供たちに問い掛けた。
　子供たちは
「だって、十の位は１ずつ減っていくけど、その分一の位が１ずつ増えていくから、ずっと９で変わらないよ」
と説明した。
　理由が明確になり、子供たちはきまりへの自信を深めていった。

  

 ９×１＝　９
９×２＝１８
９×３＝２７
９×４＝３６
９×５＝４５
９×６＝５４
９×７＝６３
９×８＝７２
９×９＝８１



 【たすと９になる！】
９×１＝　９　→　０＋９＝９　
９×２＝１８　→ １＋８＝９
９×３＝２７　→ ２＋７＝９
９×４＝３６　→　３＋６＝９
９×５＝４５　→　４＋５＝９
９×６＝５４　→　５＋４＝９
９×７＝６３　→　６＋３＝９
９×８＝７２　→　７＋２＝９
９×９＝８１　→　８＋１＝９

 【あれ、１８になっちゃう！】
９×11＝９９→　９＋９＝１８

 「ずっと９で変わらない」と自信満々の子供たち。
しばらくの間、「４＋５＝９、９で変わらないね。」「５＋４＝９、やっぱりずっと変わらず９だね。」…と、変わらず９になり続けることを確かめていった。

　そんな中、一部の子供の中から、
「あれ、答えが９９になって、たして１８になる時がある」
といったつぶやきが聞こえてきた。
　九九の範囲をこえてきまりが成り立つかを考え始めたのである。
　この発想を全体に広めたいと思ったが、すぐには取り上げなかった。
　じっくりと「たして９」になることを確かめていき、その度にあえて「ずっと変わらず９だね」と言い続けた。
　続けるうちに、
「ずっと９じゃないよ。ほら、９×１１の時…」
と周りの子に説明し出す子が出てきた。
　しめしめである。
　そうした声がクラス全体に広まったところで、1人の子を指名して思いを語らせた。
　そして、９×１１＝９９で、９＋９＝１８になる事実を確認し、
「たすと９になるはずなのに、１８になってしまう」
という矛盾をクラスで共有した。

　そして、
「成り立たない場合があるなら、これは“きまり”って言えないね」
と揺さぶって、黒板に大きくバツをつけようとした。
　すると、何人かの子から
「バツじゃないよ」
「全部９になる方法があります」
という声があがった。
　その言葉に立ち止まり、
「この１８をどうすれば９と見られるの？」
と全体に投げかけた。
　ここでは、きまりが成り立つか成り立たないかを議論しても空中戦になる。
　そこで、どう見れば成り立つと見られるのかという問いに焦点を絞って考えていくことにしたのである。
　難しい問いではあるが、子供たちは何とかきまりを見出そうと試行錯誤した。
　そんな中、ある子が
「答えをまた足せばいい」
と発言した。
「９９の９と９をたすと１８だけど、その１８の十の位と一の位をまたたすと１＋８で９になる」
というのである。
　見方を工夫することで、１度は成り立たないように思えたきまりが成り立つようになった。
　このように見方を工夫すれば、答えが３桁になっても足して９と見ることができる。
　子供たちは、「だったら…」と発想を広げていった。
　そして、
「９×１２＝１０８だけど、１＋０＋８をすれば９になる。９×１３＝１１７だけど、１＋１＋７をすれば９になる」
「１０８は十の位が１０で一の位が８とみれば、１０＋８で１８、１８の１と８をたせば９とみれる。１１７は、１１＋７で１８、１＋８で９とみれる」
といったように、様々な見方を工夫しながらきまりが使える範囲を拡張していった。

　この日の授業で、子供たちは「十の位と一の位に分けて観察する見方」に加え、「答えに並ぶ数を操作する見方」「きまりを修正して一般化する見方」を身に付けた。数の見方を増やし、数への感覚を豊かにしたのである。

　次の日には、右のようなアレイ図を紹介して、足して９になる理由を子供たちに説明した。
　図を見れば、９のまとまり４つが、１０のまとまり３つと６に変身することが分かる。
　子供たちは、９のまとまりを「１０のまとまりより１小さいまとまりなんだね」と捉えていった。

  
 【さらにたせばいいよ！】
９×11＝９９
　→　９＋９＝１８
　　　　→　１＋８＝９


 【３桁になっても…】
９×12＝１０７
　→１＋０＋７＝９
９×13＝１１６
　→１＋１＋６＝９







 

★６の段、８の段、７の段

　その後、６の段や８の段、７の段の学習においても、子供たちは、９の段の学習を生かして様々なきまりを発見していった。
　例えば、
「８の段は、答えの十の位と一の位をたすと、８、７、６…となって、１ずつ減っている 」
「７の段なら、７、５、３…となって、２ずつ減っている」
といったきまりである。
　そして、例えば、「８×６＝４８」の４と８を足して「１２」になった時には「さらに１と２を足して３と見ればいい」といったように工夫していった。（右図）
　これらは、９の段で身に付けた
「答えに並ぶ数を操作する見方」
「きまりを修正して一般化する見方」
を生かした発見である。
　本単元では、９の段をあえて最後ではなく早めに扱った。きまりを発見しやすい９の段を早めに扱うことで、９の段で身に付けた見方を他の段に生かせるようにしたのである。


 
 【８の段の答えの十の位と一の位を、足した数は、１ずつ減る】

　８　→　０＋８＝８　
１６　→ １＋６＝７
２４　→ ２＋４＝６
３２　→　３＋２＝５
４０　→　４＋０＝４
４８　→　４＋８＝１２→３
５６　→　５＋６＝１１→２
６４　→　６＋４＝１０→１
７２　→　７＋２＝９
　単元の後半では、見付けたきまりを友達と自由に紹介し合う時間を設けた。
　黒板も子供たちに解放し、自由に使わせた。
　黒板の前で友達と紹介し合う子もいれば、ノートを見せ合いながら紹介し合う子もいる。
　中には、友達から聞いたきまりから、新たなきまりをひらめき、自分の席に戻って追究する子もいる。
　そういう自由に学ぶ場を設けたのである。
　少しずつそういう時間を長くしていき、８の段、７の段あたりでは、３０分近くをそうした時間にあてた。
　単元前半が、きまり発見の視点を増やしていく時間だとすれば、単元後半は、身に付けた視点を生かしていく時間にしたわけである。


  
　
　発展として、１０の段、１１の段、１２の段と、九九の範囲を越えたかけ算も考えた。そこでも、子供たちは、次のようなきまりを見付けていった。

【１０の段】
・１の段に０をつけると１０の段ができる。
・（９の段）と（１の段）を足すと１０の段ができる。

【１１の段】
・（５の段）と（６の段）を足すと１１の段ができる。
・十の位と一の位は同じ数になる。（百の位と一の位を足した数が、十の位の数と同じになる）

【１２の段】
・一の位は２の段になっている。
・十の位と一の位を足すと３の段になる。

　１１の段では、十の位と一の位は同じ数になることに気付いた。
　答えが百を越えるときまりは成り立たないように思えたが、子供たちは、百の位と一の位を足した数が、十の位の数と同じになることを発見していった。
　９の段で得た「きまりを修正して一般化する見方」を生かしたのである。

  
 
 
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
　３、お　わ　り　に
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　かけ算九九では、もちろん九九の暗記が大切である。
　しかし、暗記ばかりしている算数では、ちょっぴり寂しい。
　きまりを発見することは数感覚を豊かにする。
　そして、何よりも、楽しく、子供が夢中になるのである。


※
　尚、このページでは、長い長いかけ算九九の単元から、きまり発見の授業だけを抜き出してまとめた。
　しかし、その前後や途中において、九九を覚える学習や、九九を生活へ活用する学習など、様々なことを行っている。
　興味があれば、そうした実践も紹介しているので、見ていただきたい。
　（九九指導のお薦めアイディア）

  
TOP