江戸出身。旗本の田嶋鍋吉(同墓)の長男として生まれる。幼名は金太郎。木版画家の合田清(同墓)は弟。應親が儒者の合田錦園の長女の治子(同墓)と結婚し、弟の清は合田錦園の次女の舜子(同墓)と結婚し婿養子となる。国際園芸社長の合田弘一(同墓)は甥。
1863(文久3)講武所に入所して砲術を学ぶ。新種の火薬「信号用火箭」を発明し実験をした。1866(慶応2)横浜仏語伝習所で学ぶ。ここではフランス人のメルメ・カションがフランス語を指導したが、読み書きだけではなく会話ができる人材育成に力を入れていた。開国をした幕末期の日本は西洋式軍隊の訓練や造船所建設などのために必要な通訳や陸軍将校養成が急務とされていた背景がある。全寮制で修業期間は1年半、授業は全てフランス語、生徒は原則幕臣の子弟とされた。修了後は幕府伝習隊の砲兵隊に所属した。
1868戊辰戦争が勃発すると仏語伝習所が臨時病院となったため係員を務めていたが、抗戦派の榎本武揚に同意し通訳として蝦夷地へ渡った。箱館戦争降伏後は兵部省に出仕。西洋式軍隊や近代兵学を知る者として重用される。1870(M3)大阪兵学寮に出仕し、中教授としてフランス語の教練書の翻訳などを行った。1874伝令使を務める。乃木希典と同僚であったがフランス語ができる田嶋がフランス人教師との交渉を一任されていた。1879.2陸軍砲兵少佐となり、参謀本部第1局第6課(測量課)を兼務、同.10総務局翻訳課長を兼務。
1880 初代フランス公使館附フランス駐在武官に任ぜられた。この頃、幼名の金太郎から應親と改めた。フランス・パリに赴く際に弟の合田清(同墓)を同行させた。当初、合田清は農学研究を志していたが、同宿で交流があった画学生の山本芳翠の薦めで木版画家に転向している。
1884.4 帰朝し、参謀本部長伝令使、同.6 大阪砲兵工廠御用掛兼務、同.7 中佐に昇進し、参謀本部長伝令使兼編纂課長となり外国軍の情報収集の任務を務めた。1890大佐になり野戦砲兵第6連隊長砲兵を務めた。後の日露戦争で旅順攻略につかわれた日本最初の海軍砲を製造した人物としても知られる。1893健康不良を理由に陸軍を退官。同.4.11従5位。
1894.1〜1895.4 弟の合田清が開所した生巧館の援助をした政財界の重鎮の佐久間貞一に頼まれ、ニューカレドニアに夫妻で渡り、ニッケル会社で働く日本移民の監督にあたった。1899『東京人類學會雜誌』に「佛領新加列土尼島ニ於テ拾收シタル頭骨ニ關スル説明」を発表。享年82歳。